どうも、こんばんは、とっくに社会人のオルソンです。
私が大学に入る時は「センター試験」というものを受けました」しかし、大学入試改革によって今年から「大学入試共通テスト」というものが導入されるそうで。これにより、大学入試改革の目的である「自らの力で考えをまとめたり、相手が理解できるように根拠に基づいて論述する思考力・判断力・表現力」や「主体的・対話的で深い学び」を評価できるテストになるらしい。
実際、大学入試共通テストのプレ(事前にどういうテストかを発表する例題のようなもの)には、「会話文形式」が少なくない。そこで、今回、私も数学IAの予想問題を作ってみた。分量は1人で作ると結構大変な割に問題量が多くないので、これを試験時間内に解けてもあまり良い指標にならないであろう。また、大老害なので、思いっきり統計の問題を出し忘れているがご容赦願いたい。
- 第1問
以下の文章を読んで問いに答えよ
太郎「√2は無理数である、ということを証明するにはどうすればいいんだっけ？」
陽菜「ヤッホー⭐︎この世を少しでも明るく照らすお日様になりたい！陽菜で〜す⭐︎キャピ！√2が無理数であることは背理法で証明するの！ちなみに私の穴は出入り自由よ！」
太郎「どういう意味だよ……でも、そういえば、背理法を使って、【ア】ことを証明すればよさそうだね。」
陽菜「ヤッター⭐︎お役に立てた〜♡ルンルンルーン♪そうと決まれば、【イ】と仮定すればいいんじゃ〜ん？」
太郎「そしたら、【ウ】したら仮定と矛盾するから、証明できた！」
陽菜「イエーイ⭐︎ひなちゃんもうれピヨ丸〜♪」
問1、【ア】に当てはまる言葉を次から選べ。
0、√2は無理数である
1、√2は無理数ではない
2、√2は有理数である
3、√2は有理数ではない
問2、【イ】、【ウ】に当てはまる式や言葉として正しい組み合わせを選べ。なお、aとbは互いに素な自然数であるとする。
0、イ…√2=a/b ウ…両辺を2倍
1、イ…√2=ab ウ…両辺を2倍
2、イ…√2=a/b ウ…両辺を2乗
3、イ…√2=ab ウ…両辺を2乗
問3、条件p、qを以下のように設定する。この文章に関連して正しいものを1つ選べ。なお、a、bは有理数であるとする。
p:ab=0かつa≠0である
q:a+b√2が有理数である
0、pはqの必要条件であるが十分条件ではない
1、pはqの十分条件であるが必要条件ではない
2、pはqの必要十分条件である
3、pはqの必要条件でも十分条件でもない
- 第2問
以下の文章を読んで問いに答えよ
太郎「おい、花子、聞いたか！？今朝、校門の近くに大型トラックが飛び込んできたって！」
花子「聞いたわよ！それで、田中先生も、佳子も…みんなみんな潰されて…」
太郎「俺の友達の雄一も死んじゃったよ…『一緒に甲子園行こう』って約束してたのにな…」
花子「私も、田中先生の授業、分かりやすくて大好きだったな…なのに、どうして！どうして！」
太郎「どうやら、大型トラックの運転手は考えごとをしていたらしい。しかも、法定速度を大きく超える時速60キロで走っていたらしいんだ。」
花子「なるほど、ということは、1秒考え事していただけで大型トラックは【ア】m進むのね…」
太郎「しかも、車はブレーキをかけたからって急に止まるわけじゃない。車にブレーキが効きはじめてから止まるまでの距離を『制動距離』という。まず、トラックの速さをxm/s、制動距離をyとするとy=x^2/19.6μ
と表せるんだ」
花子「このμっていうのは何？」
太郎「これは、摩擦係数と言って、路面の滑りにくさを表す数字さ。今日はとてもよく晴れているからμ=0.7くらいらしい。そう、よく晴れているからね……絶好の野球日和だったから…」
花子「ということは、トラックの制動距離は【イ】mとなるわけね。」
太郎「でもね、トラックが実際に停止するには、ブレーキを操作しないといけない。その間にもトラックは進むから、実際はもう少し長くなるんだ。」
花子「そうね、その時間がt秒だったとして、トラックの秒速をxm/s、トラックが停止する間に走る距離をym、そして摩擦係数μを使うと、y =【ウ】となるわけね。」
太郎「その通り、大型トラックが時速60キロだったこと、μ=0.7から、トラックが停止する間に走る距離(以下、打つのが面倒なので『停止距離』とする)は、t=1とすると、【エ】mとなるんだ！」
花子「ちなみに、雄一くんは、トラックが停止した10m手前にいたらしいわ。ということは、雄一くんには時速【オ】kmで当たったことになるわね」
太郎「そうだね。ところで、あの校門の前は危ない道だよね。30mくらい手前からしか校門が見えないんだ。あれじゃ、考え事してない、つまり、t=0.75の場合でも時速【カ】km以上出すと、校門を見てからでは絶対に止まれないんだ」
花子「そうなのね、ところで今日みたいな野球日和じゃない時は路面が滑りやすくなるんじゃない」
太郎「そうなんだ、雨に濡れた路面はμ=0.4、凍結した路面はμ=0.1になるんだ」
花子「やっぱり…となると、それぞれ時速【キ】km以上、時速【ク】km以上出すと、校門で止まれなくなるということね！」
問、空欄【ア】〜【ク】に当てはまる数値を求めよ。なお、【ウ】はμとxを用いた数式を求めよ。
- 第3問
以下の文章を読んで問いに答えよ
命題:△ABCの外心、重心、垂心をそれぞれO、G、Hとする。O、G、Hが全て異なる点である時、3点は一直線上にある。
一郎「先生からの宿題なんだけど、全然わからないんだよね…どうしようか？優子さん」
優子「〒※◎$Σ⭐︎%✳︎△#?%◎&@□♬※」
一郎「なるほど、線分OH上に点Gがあることを証明するのか！あと、BCの中点をMとしたのは何か意味があるの？」
優子「卍○♪Σ%※？∮@△¥%×$☆♭#▲！※」
一郎「なるほど、【ア】//【イ】になるね、さすが優子さん！」
優子「$Σ⭐︎%✳︎△#?%◎卍&@□♬※□&○〒%$■☆♭＊！」
一郎「え？そんな大胆なことしていいの？でも、確かに点Gが線分OH上にあるとしたら、【ア】:【イ】=【ウ】:【エ】=【オ】:【カ】になるね！これを証明するためには…ひとまず、BC=a、AC=b、AB=cと置いてみるか」
問1、空欄【ア】〜【エ】に入る線分の名前および、【オ】、【カ】に入る自然数を求めよ。なお、【ア】〜【エ】においては、文章中にでてきた点を用い、【キ】<【ク】を満たすよう解答すること。
優子「〒※◎$Σ⭐︎%〒※◎$Σ⭐︎%✳︎ 〒※◎$Σ⭐︎%✳︎△#?%◎&@□♬※△#?%◎&@□♬※△#?%◎&@□♬※〒※◎$〒※◎$Σ⭐︎%✳︎△#?%◎&@□♬※Σ⭐︎%✳︎△#?%◎&@〒※◎$Σ⭐︎%✳︎△#?%◎&@□♬※□♬※〒※◎$Σ⭐︎%〒※◎$Σ⭐︎%✳︎ 〒※◎$Σ⭐︎%✳︎△#?%◎&@□♬※△#?%◎&@□♬※△#?%◎&@□♬※〒※◎$〒※◎$Σ⭐︎%✳︎△#?%◎&@□♬※Σ⭐︎%✳︎△#?%◎&@〒※◎$Σ⭐︎%✳︎△#?%◎&@□♬※□♬※〒※◎$Σ⭐︎%〒※◎$Σ⭐︎%✳︎ 〒※◎$Σ⭐︎%✳︎△#?%◎&@□♬※△#?%◎&@□♬※△#?%◎&@□♬※〒※◎$〒※◎$Σ⭐︎%✳︎△#?%◎&@□♬※Σ⭐︎%✳︎△#?%◎&@〒※◎$Σ⭐︎%✳︎△#?%◎&@□♬※□♬※〒※◎$Σ⭐︎%〒※◎$Σ⭐︎%✳︎ 〒※◎$Σ⭐︎%✳︎△#?%◎&@□♬※△#?%◎&@□♬※△#?%◎&@□♬※〒※◎$〒※◎$Σ⭐︎%✳︎△#?%◎&@□♬※Σ⭐︎%✳︎△#?%◎&@〒※◎$Σ⭐︎%✳︎△#?%◎&@□♬※□♬※」
一郎「優子さんのいう通り、【ケ】と【コ】を使えば、【ア】=【サ】と、【ア】の長さをAとaのみで表せる！【イ】の長さは…【ア】=【シ】と表せるけど、AととBとbの3種類の文字が出てきちゃった…」
優子「卍○Σ%※？∮@△¥%×$☆♭#▲！※」 ♪Σ% 卍○♪Σ%※？∮@△¥%×$☆♭#▲！※卍○♪Σ%※？∮@△¥%×$☆♭#▲！※？∮@△¥%×$☆♭ 卍○♪Σ%※？∮@△¥%×$☆♭#▲！※#▲！※」
太郎「ちくわ大明神」
一郎「誰だ今の！それはそうと、確かに【ケ】を使ったら、【ア】:【イ】=【オ】:【カ】になったぞ！」
問2、空欄【ケ】、【コ】に当てはまる語句を1つずつ選べ
0、正弦定理
1、余弦定理
2、三平方の定理
問3、空欄【サ】、【シ】に当てはまる式を求めよ
- 第4問
以下の文章を読んで問いに答えよ
亮一「近所のアイス屋でアイス買ったんだ、10本に1本の割合で入ってるっていうからさ、9本買ったんだよ！そしたらさ、9本ハズレなんだよ！てことはさ、残ってる1本はさ、絶対当たりなんだよね！」
敦夫「ハハハ、亮一は本当にバカだなあ。10本に1本入っていたって、【ア】の確率で10本ともハズレるじゃないか」
亮一「へ？10本に1本だから、10本買ったら、絶対1本当たるんじゃ？」
敦夫「いやいやいや、10本に1本当たりってことは10本に9本はハズレだろ？」
亮一「だから、その9本は食べたんだよ！」
敦夫「そうじゃないんだよ、亮一が買った10本が全部ハズレの方の9本から取られた場合もあるじゃん？」
亮一「ん？9本から取られたアイスが10本？アイスが増えた？不思議なポケット？」
淳夫「違うんだよなあ…あ、じゃあ、こうしよう！例えば、アイスが100本売ってたとしよう」
亮一「そんなに売ってないけどね」
敦夫「例えば、だから。その場合、10本に1本が当たりだとすると【ア】本は当たりだろ？ということは、その【ア】本の中から亮一が買った10本が全部出てくる可能性はあるじゃん」
亮一「いや、でもさ、100本も売ってないわけよ」
敦夫「例えばっつって……………あ、そうだ、逆に聞くけど、何本くらい売ってた？」
亮一「37本くらいかなあ」
敦夫「面倒くさいな…くらいでも何でもないし。よし、40本だとしよう！キリがいいところで40本！その状態で『10本に1本』という店の人の言葉を信じるなら、売り場には当たりのアイスは【イ】本しかない、いいね？」
亮一「まあ、そうだね」
敦夫「ということは、その中からアイスを10本取るとして、【イ】本から1本の当たりを、40-【イ】本から9本のハズレを取ると考えると、1本入っている確率は【ウ】となる。」
亮一「？？？？？？？？？」
敦夫「ちなみに、同様に考えると10本全部ハズレの確率は【エ】、2本当たる確率は【オ】となる。他の場合も考えると、10本アイスを買うと当たりが【カ】本入っている確率が一番高いことがわかるんだ」
亮一「？？？？？？？？？？？？？？？？？よくわからないけど、僕の残り1本は当たりじゃない確率が【エ】ってこと？？？？？？？」
敦夫「それは違うな。だって、9本はハズレなのが分かっているんだろ？ということは、10本目がハズレである条件付き確率は【キ】だよ」
亮一「条件付き確率？何それ？食えるの？」
敦夫「食えないよ、骨付きカルビとは違うからね」
亮一「骨付きカルビ？骨付きカルビは美味いよなあ。ってことは、条件付き確率も似たようなものか？」
敦夫「全然違うって。ちなみに、10n本(nは自然数)買ったら当たる確率が最も高いのは何本の場合かっていうのもわかるんだ」
亮一「n本？エロ本ならわかるけど？」
敦夫「OK、いったん黙ってろ。10n本のうちk本が当たりである確率はnとkを用いて、【ク】と表せるんだ。ということは、k +1本当たる確率は【ケ】と表せるんだ。」
亮一「？？？？？？？？？？？」
敦夫「そして、【ケ】/【ク】が【コ】以上であることと、【ケ】≧【ク】となることは同値だから、10n本買ったら、【サ】本の当たりが出る確率が一番高いんだ。」
亮一「エロ本で骨付きカルビといえばさ、昔カルビpowerっていう写真と漫画を合わせたエロ本があったらしいんだけど」
敦夫「アイスの話飽きちゃったのかよ」
問、空欄【ア】〜【サ】に入る数値を求めよ。なお、【ク】、【ケ】はnとkを用いた式を、【サ】にはnを用いた式を入れよ。
- 第5問
以下の文章を読んで、問いに答えよ
修二「そろそろクリスマスだから、ライトを組み合わせてイルミネーションを作ってみたんだ」
彰「すごいな、電球ごとについたり消えたりするのか」
修二「そう、同時に光るよりその方がいいと思ってさ。A、B、Cの3グループに分けて何秒おきに光るか設定したんだよ…あれ？4グループだったかな？いや、3グループ？まあいいや」
彰「あれ？そんなこと言ってたら今同時に光ったぞ。」
修二「マジかよ…確かAグループが3秒おき、Bグループが5秒おき、Cグループが6秒おきに光るようにしたんだ」
彰「ということはそれ、【ア】秒おきに同時に全部光るぞ…」
修二「え？あ、いや、待てよ？確かに4グループだわ！Dグループは4秒おきに光るんだ！」
彰「なんだそりゃ、それでも【イ】秒おきに同時に全部光るぞ…」
修二「いや、待てよ？Aが5秒でBが3秒でCが6秒だったかな？Dは4秒なんだけど」
彰「そこはどうでもいいんだよ。何でグループごと忘れてたDの記憶が明確なのかよくわかんないけど」
修二「とにかく秒数を変えて同時に光る回数を減らそう」
彰「そうだな」
修二「例えば、Aが6秒、Bが5秒、Cが3秒だったとして…」
彰「また並び順変わってるけどな」
修二「Dが【ウ】秒おきに光るならどうだ？」
彰「それでも【ア】秒おきに光るぞ」
修二「そうか、闇雲に秒数決めてもダメだな」
彰「いや、やってみるとわかることもあるだろ。例えば、Dを7秒おきに光らせると…」
修二「A、B、C、Dは【エ】秒おきに同時に光る…あ、くりあがり忘れてたから【オ】秒おきだ」
彰「そうだな、ところで、何でこの大問だけ二人の名前が青春アミーゴなんだ？」
修二「どうでもいいだろ。Dを9秒おきに光らせるとB、C、Dは【カ】秒おきに光る…あれ？A忘れてた。【キ】秒おきに同時か」
彰「6秒おきだからって6倍すればいいわけじゃないだろ。【ク】秒おきに同時だろ」
修二「さっきより短いじゃん…」
彰「確かに…」
問1、空欄【ア】〜【ク】に入る数値を求めよ
問2、10以上20以下の自然数でA〜Dグループの電球を光らせる間隔を決める時、A〜Dグループが同時に点灯するスパンを最大何秒まで伸ばせるか求めよ
